Ⅵ. 경우의 수. 합과 곱의 법칙

 

 

공통수학 하 6단원. 경우의 수.

①합과 곱의 법칙

②순열

③조합

 

경우의 수 단원은 경우의 가짓수를 체계적으로 세는 것을 배우는 단원이다. 어떤 문제 상황에 따른 경우들의 가짓수가 궁금할 때 경우들을 하나씩 빠뜨리지 않고 세면 되는데 경우의 수가 너무 많으면 일일이 다 세기가 힘들다. 그래서 그 많은 경우의 수를 쉽게 체계적으로 세는 방법을 배운다. 여기서는 ‘잘 세는 것’ 이 실력이다. 한 가지 경우를 빠뜨렸거나 한 가지 경우를 더 세서 틀린 것을 실수라고 할 수 없다. 체계적으로 경우의 수를 세는 법을 배우는 게 핵심이다. 그러면 도대체 어떻게 체계적으로 수를 세라고 하는 걸까? 바로 합과 곱의 법칙이다.

 

①합과 곱의 법칙

비상 교과서 합의 법칙 예제

합의 법칙은 동시에 일어나지 않는 두 사건의 경우의 수를 더해서 셀 수 있다는 것이다. 예제를 먼저 보자. $x+y≤3$을 만족하는 순서쌍 $(x,y)$의 개수를 구하라고 했을 때 $x,y$에 무작위로 숫자를 넣어서 순서쌍을 구하는 것은 체계가 없기 때문에 경우들을 빠뜨릴 위험이 크다. 체계적으로 세기 위해서 다음과 같이 경우들을 먼저 분류한다.

ⅰ) $x+y=2$ 일때
    $(x,y)=(1,1)$
ⅱ)$ x+y=3$
   $(x,y)=(1,2),(2,1)$
이므로 $1+2=3$ 가지이다.

이 예제에서 말해주는 것은 우리가 알아서 경우를 분류하고 개수를 센 뒤에 합의 법칙으로 경우의 수를 세라는 것이다. 케이스를 분류해놓고 세면 아무렇게나 경우들을 셀 때보다 훨씬 체계적이므로 경우들을 빠뜨리고 셀 가능성이 적다. 따라서 우리가 경우의 수를 세는 체계적인 방법은 합의 법칙을 이용하는 것이다. 어느 문제가 나오든 케이스를 분류하고 세면 답이 나온다.

 

미래엔 교과서 곱의 법칙 예제

여기서 꽃병을 A,B,C 3개로 하고 장미를 a,b,c,d 라고 하자. 꽃병 한 개와 장미 한 송이를 택하는 경우의 수를 세야 한다. 마찬가지로, 기준을 두고 케이스를 분류해서 합의 법칙으로 경우의 수를 세도록 한다. 꽃병을 기준으로 분류하면
ⅰ) A-a, A-b, A-c, A-d
ⅱ) B-a, B-b, B-c, B-d
ⅲ) C-a, C-b, C-c, C-d
따라서 $4+4+4=12$ 가지 이다.

그런데, 이렇게 케이스를 나눠서 개수를 합치다 보니 귀찮다는 생각이 든다. 어차피 케이스별로 경우의 수가 똑같을 때에는 그냥 곱셈으로 처리할 수 있지 않나? 위처럼 꽃병을 3개 중 어떤 걸 선택하든 선택할 수 있는 장미는 a,b,c,d 4가지로 똑같으니까 3×4=12 하면 될 것 같은데? 그래서 나온 게 바로 곱의 법칙이다.

만약 분류한 케이스별로 경우의 수가 같은 게 보인다면 굳이 분류하지 않고도 경우의 수를 셈할 수 있다. 그러면 우리는 경우를 늘어놓으면서 일일이 세는 방식에서 벗어나 곱셈 한 줄로 경우의 수를 계산할 수 있게 된다. 위 예제에서 꽃병이 10개로 늘어난다고 해도 어차피 장미 수는 똑같으니 10×4=40 가지로 바로 답을 낼 수 있다. 합의 법칙이 경우의 수를 ‘체계적’으로 셀 수 있게 하는 법칙이라면, 곱의 법칙은 경우의 수를 ‘쉽게’ 셀 수 있게 하는 법칙이다.

 

신사고 교과서 대단원 마무리 문제

색을 a,b,c,d 라고 하고 영역 A,B,C,D 순으로 색을 칠한다고 하면 기본적으로 A-a, A-b, A-c, A-d 로 케이스를 분류해야 하지만 일일이 다 나열하기에 케이스가 너무 많다. 그래서 곱의 법칙을 이용해보자. 만약 A에 a를 칠하면 B에 칠할 수 있는 색은 b,c,d 3가지이다. 마찬가지로 A에 b를 칠해도 B에 칠하는 색은 a,c,d 3가지이다. A에 어떤 색을 칠하든 B에 칠할 수 있는 색은 3가지로 똑같다. 또 영역 C에 칠하는 색도 A,B에 칠한 색을 제외한 2가지로 동일하고 영역 D에 칠하는 색도 A,B,C 색을 제외한 1가지로 동일하기 때문에 네 영역에 다른 색을 칠하는 경우의 수는 $$4×3×2×1=24 $$이다.

오. 확실히 곱의 법칙은 경우의 수를 쉽게 셀 수 있게 해주는 것 같다. 저 24가지 경우들을 다 나열하지 않고 곱셈 연산으로 경우의 수를 셌으니까. 그래서 경우의 수 단원에서 많은 문제들이 곱셈으로 수를 세도록 출제 되고 학생들도 곱셈부터 하면서 문제를 푼다. 그러나 중요한 포인트는 이제부터이다. 다음 문제도 똑같이 곱의 법칙을 이용해서 풀었다고 하자.

비상 교과서 익힘책 문제

 

4가지 색을 a,b,c,d 라고 했을 때 A영역에 칠할 수 있는 색의 가짓 수는 4가지이므로 $$4 $$ A에 칠한 색을 a라고 할 때 B에는 a를 제외한 b,c,d 3가지 색을 칠할 수 있으므로 $$4×3$$ B에 칠한 색을 b라고 할 때 C에는 b를 제외한 a,c,d 3가지 색을 칠할 수 있으므로 $$4×3×3 $$C에 칠한 색을 c라고 할 때 D에는 c와 영역A의 a를 제외한 b,d 2가지 색을 칠할 수 있으므로 $$4×3×3×2=72 $$

답을 보니 틀렸다. 왜 틀렸나? 어디에서 틀린 건가?
앞서 말했듯이 곱의 법칙이 어떤 사건에 뒤따라오는 경우들의 수가 같을 때 편의상 곱셈을 해서 연산을 하는 것이라고 했다. 꽃병A에 넣을 수 있는 장미가 4가지이고 꽃병B에 넣을 수 있는 장미가 4가지로 동일할 때만 곱셈을 할 수 있다는 것이다. 그러면 먼저 곱셈을 하기 전에 먼저 경우의 수가 ‘같은지’ 를 확인해야 한다. 곱셈을 먼저 하려고 하면 안되고, 곱의 법칙이 자연스럽게 합의 법칙에서 유도되었듯 우리도 문제에서 경우들을 먼저 따지고 나서 그 개수가 같을 때에만 자연스럽게 곱의 법칙으로 넘어가야 한다. 그래서 경우의 수에서는 각각의 경우들을 일단 따져보는 습관을 들이는 게 좋다. 위 문제를 다시 풀어보자.

A영역에 칠할 수 있는 색은 a,b,c,d 로 4가지이고 어떤 색을 칠하든 B에 칠하는 색은 3가지로 동일하다. B에 3가지 중 어떤 색을 칠하든 C에 칠하는 색의 경우는 같다. 그래서 4×3 까지는 연산이 맞다. 그러나 C와 D에서 문제가 생긴다. 만약 C에 A와 같은 색이 칠해졌을 경우에는 영역 D에 칠할 수 있는 색은 3가지이다. 만약 C에 A와 다른 색이 칠해지면 D에 칠할 수 있는 색은 2가지이다. 즉, C에 어떤 색이 오느냐에 따라 D에 칠할 수 있는 색의 가짓수가 다르다. 따라서 C영역부터 곱의 법칙을 사용할 수 없다. 그러면 어떻게 세야 하는가? 이미 배웠다. 경우의 수의 기본, 케이스를 분류해서 합의 법칙으로 세야 한다. C에 칠할 색에 따라 경우가 나뉘므로 다음과 같이 분류할 수 있다.

ⅰ) C에 A와 같은 색을 칠할 때
   A에 a를 칠했으면 C도 a이고 D는 b,c,d 3가지 이므로 $$1×3=3 $$ ⅱ) C에 A와 다른 색을 칠할 때
   A에 a를 칠하고 B에 b를 칠했으면 C에는 c,d 2가지를 칠할 수 있고 D는 A와 C를 제외한 2가지 색을 칠할 수 있으므로 $$2×2=4 $$ 따라서 C랑 D를 칠하는 경우의 수는 3+4=7이고 전체 경우의 수는 결국 $$4×3×7=84 $$

학생들이 경우의 수 문제를 대할 때 기계적으로 곱셈부터 하는 잘못을 많이 저지른다. 곱셈을 해서 경우의 수를 구하라고 배웠기 때문이다. 이 단원은 단순히 곱셈으로 수를 세는 것을 배우는 데가 아니다. 체계적이고 쉽게 수를 세는 게 핵심이고 따라서 자유자재로 경우들을 분류해서 합의 법칙과 곱의 법칙을 쓸 수 있어야 한다. 항상 어려운 문제들은 두 법칙 다 쓰게끔 출제된다.
이제 순열과 조합이 나올텐데 이 개념들도 합과 곱의 법칙을 이용해 정리해 놓은 개념일 뿐이다. 합과 곱의 법칙을 제대로 이해하고 있지 않으면 순열과 조합도 어려울 수 밖에 없다. 그래서 계속해서 합과 곱의 법칙에 대해 이야기 할 것이고 순열과 조합 단원에서 이 법칙들이 어떻게 개념과 섞여서 나오는지 이어서 설명하겠다.