Ⅵ. 경우의 수. 순열

공통수학 하 6단원. 경우의 수.
①합과 곱의 법칙
②순열
③조합

 

[수학/고1] - Ⅵ. 경우의 수. 합과 곱의 법칙

②순열
순열은 순서를 고려하여 원소를 나열하는 것을 말한다. 좌석을 배치하거나 여행 계획을 짜거나 혹은 암호코드를 짤 때 등과 같이 일상생활 속에서는 여러가지 대상 중 몇 가지를 골라 순서 있게 나열하는 경우가 많이 나온다. 그래서 여기에 순열이라는 이름을 붙이고 이 순열의 수를 세는 체계를 배운다. 그런데 순열은 절대 새로운 개념이 아니다. 앞서 경우의 수를 세는 기본 원칙인 곱의 법칙을 이용해 개념을 정립한 것 뿐이다. 예를 들어, $a,b,c,d$ 중 2개를 나열하는 경우의 수를 구한다고 하자. 케이스를 분류해서 수형도를 그려보면 다음과 같다.

결국 경우의 수는 $3+3+3+3=12$ 인데 어차피 첫 자리에 $a$가 오든 $b,c,d$ 가 오든 뒤에 오는 문자는 첫 자리 문자를 제외한 세 가지로 동일하다. 따라서 곱의 법칙에 의해 $4\times 3=12$ 로 연산을 할 수 있다. 이 원리를 확장하면 만약 n개에서 r개를 나열하는 경우의 수는 $$_nP_r= n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)$$ 로 셀 수 있고 이 체계를 바로 순열 이라고 부른다. 따라서 이제부터 순서를 고려해서 나열하는 경우의 수는 단순히 곱셈으로 처리할 수 있게 된다. 그런데 항상 4점 문제는 간단한 곱셈으로 처리할 수 있도록 출제되지 않는다.

2019 3월(나) 학평 고2

 

조건가)에 의해 A와 B가 이웃하여 앉을 수 있는 경우는 첫째 줄, 둘째 줄, 셋째 줄이다. A와 B가 이 세줄 중 어느 줄에 앉든 C와 D가 앉을 수 있는 자리의 수는 같을 거고 A와 B가 같은 줄에서 자리를 바꾸는 경우의 수 $2!$ 을 고려해야 하므로 $$3×2!$$ 이제 C와 D를 앉히자. 조건나)에 의해 C와 D가 같은 줄에 앉으면 안된다. 만약 A와 B가 첫째 줄에 앉았다고 했을 때 남는 5자리를 1,2,3,4,5 라고 번호를 매기면 다음과 같다.

 

A	B
1	2
3	4
X	5

그런데 여기서부터는 곱셈으로 처리할 수 없는 게 보여야 한다. 왜? C와 D를 자리에 앉히는데 C가 어디에 앉느냐에 따라서 D가 앉을 수 있는 자리가 달라지기 때문이다. 만약 1번에 C가 앉으면 D는 3,4,5번 세 자리에 앉을 수 있다. 그런데 만약 C가 5번에 앉으면? D는 1,2,3,4, 네 자리 전부 다 앉을 수 있다. 그래서 여기서부터 경우의 수를 따로 세야 한다. 어떻게? 기준을 두고 분류해서. C가 5번에 앉을 때와 1,2,3,4 번 자리에 앉을 때로 나누자.

ⅰ) C가 5번에 앉을 때
   D는 1,2,3,4 번 자리로 4가지, 나머지 E,F,G는 남은 3자리에 순서대로 앉으면 되므로 $$4×3!$$ ⅱ)C가 1,2,3,4번에 앉을 때
   만약 1번에 C가 앉으면 D는 3,4,5번 자리로 3가지, 2번 또는 3번 또는 4번에 앉아도 마찬가지로 3가지이다. E,F,G 는 남은 3자리에 순서대로 앉으면 되므로 따라서 곱의 법칙에 의해 $$4×3×3! $$ ⅰ) 와 ⅱ)는 동시에 일어날 수 없는 사건이므로 합의 법칙을 이용할 수 있다. 그래서 답은 $$3\times 2!\times (4\times 3!+4\times 3\times 3! )=576 $$

저번 포스팅에 걸쳐 경우의 수 문제를 대하는 태도에 대해 이야기 하고 있다. 결국 중요한 것은 합과 곱의 법칙이다. 언제 곱셈으로 처리할 수 있고 언제 케이스를 분류해야 하는지를 아는 게 4점 문제를 공략하는 핵심이다. 순열에서 우리가 곱셈으로 처리하는 것을 집중적으로 배우기 때문에 학생들이 곱셈부터 하려고 들지만 곱셈을 하기 전에 항상 경우가 같은지를 먼저 보아야 한다. 단순히 공식으로 풀려고 하지 말고 원리를 먼저 이해하는 습관을 들이자.