Ⅱ. 방정식과 부등식. 이차방정식과 이차함수의 관계(2)

 

 

공통수학 상 2단원 방정식과 부등식
①복소수 뜻과 사칙연산
②이차방정식의 판별식과 근과 계수의 관계
③이차방정식과 이차함수의 관계
④이차함수의 최대 최소
⑤여러가지 방정식 부등식

 

③이차방정식과 이차함수의 관계
이차방정식과 이차함수의 관계를 설명하고 있다. 판별식에 이어서 이번에는 근과 계수의 관계에 대해 생각해보자.

 

[수학/고1] - Ⅱ. 방정식과 부등식. 근과 계수의 관계

 

앞서 이차방정식 단원에서 근과 계수의 관계는 첫번째, 근을 직접 구하지 않고 합과 곱을 알 수 있다는 것 과, 두번째 반대로 근의 합과 곱으로 이차방정식을 세울 수 있다는 것 에 포인트가 있다고 설명했다. 지금 이 단원에서 우리는 이차방정식을 이용해 이차함수를 이해하고 있다. 판별식을 끌어 와서 함수를 해석했던 것처럼, 이제는 근과 계수를 끌고 와서 함수를 해석하는 방법을 배운다. 

비상교과서 중단원 문제

이차함수와 직선의 교점을 주고 이차함수와 직선을 구하라는 문제이다. 어떤 학생이 다음과 같이 문제를 풀었다고 하자.

이차함수와 직선의 두 교점을 점 $A(1,a), B(4,b)$ 라고 하자. 점A는 이차함수와 직선 위에있으므로 $$ a=1^2+m\cdot 1+3=2\cdot 1+n$$ 마찬가지로 점B도 이차함수와 직선 위에 있으므로 $$b=4^2+m\cdot 4+3=2\cdot 4+n$$ 두 식을 정리하면 $$m+4=n+2$$ $$4m+19=n+8$$ 위의 두 연립방정식을 풀면 $m=-3,n=-1$ 이다.

어떤가. 맞는 풀이인가? 당연히 맞는 풀이이다. 이렇게 풀어도 아무런 흠이 없다. 그런데, 지금 이 단원의 학습목표와는 맞지 않는 풀이다. 이 학생은 함수와 직선이 만나서 생기는 교점 좌표를 단순하게 함수식에 대입한 건데, 이 방식은 중학교 과정에서 배우는 내용이다. 지금 우리가 이 단원에서 배우는 것은 이차함수와 이차방정식의 관계이다. 따라서 이 단원에서 요구하는 풀이는 다음과 같다.

두 교점의 x좌표가 1과 4이므로 $$x^2+mx+3=2x+n$$ $$x^2+mx+3-(2x+n)=x^2+(m-2)x+(3-n)=0$$ 이 방정식의 두 근이 1과 4 라는 것이다. 따라서 $m,n$ 을 구하라는 것은 저 이차방정식의 계수를 구하라는 것이고 여기에 근과 계수의 관계를 이용할 수 있다. $$-m+2=1+4=5$$ $$3-n=1\cdot 4=4$$ 따라서 $m=-3,n=-1$ 이다.

두 가지 풀이 모두 답은 똑같이 구할 수 있고 수학적으로 어느 것이 더 나은 방식이다 라고는 할 수 없다. 보는 관점이 다를 뿐인데, 지금 고1 과정에서는 이차방정식과의 관계로 문제를 해결하도록 요구하고 있기 때문에 두번째 방식으로 접근하는 연습이 잘 되어 있어야 한다. 그리고 항상 교과단원의 핵심을 물어보는 모의고사 문제에서는 그 필요성을 훨씬 체감할 수 있다. 

2016 3월 학평(나) 고2

이 문제에서 이차항의 계수 이외에 이차함수와 직선에 대한 정보는 없고 교점의 x좌표만 주었다. $f(x)$와 $g(x)$ 는 모르지만, 일단 $f(x)=g(x)$의 근이 2와 6이라는 것을 안다. 즉, 이차방정식 $$h(x)=f(x)-g(x)=0$$ 의 두 근이 2와 6이라는 것이다. 그러면 근과 계수의 관계로 이차방정식을 세울 수 있다. 두 근의 합은 $2+6=8$ , 두 근의 곱은 $2\cdot 6=12$ 이고 이차함수 $f(x)$의 이차항의 계수가 -1 이므로 $h(x)$의 이차항 계수도 -1이다. 따라서 $$h(x)=-(x^2-8x+12)=-x^2+8x-12$$ 문제에서 물어보는 함수 $h(x)$의 최댓값을 구하기 위해 형태를 바꾸면 $$h(x)=-x^2+8x-12=-(x-4)^2+4$$ $x=4$일 때 $h(x)$는 최댓값 4를 갖는다. 따라서 $ p=4,q=4 $이고 $ p+q=8$이다.

이 문제는 첫번째 교과서 문제처럼 교점 좌표로 함수 $f(x)$ 와 $g(x) $의 식을 구할 수 없다. $ f(x),g(x)$의 식을 아무것도 주지 않았기 때문에 교점의 좌표를 대입할 식이 없기 때문이다. 결국 문제에서 물어보는 것은 $h(x)$를 구하라는 것이고 그 뜻은 ‘두 수를 근으로 갖는 이차방정식을 세울 수 있느냐’ 하는 것이다. 앞서 이차방정식 계수와의 관계 단원에서 이 부분이 포인트라고 말했다. 문제를 내는 출제자는 단원의 핵심을 문제에 녹일 수 밖에 없고 그래서 우리는 교과서에서 요구하는 방식으로 문제를 풀 줄 알아야 한다. 그게 시험에서 문제를 푸는 빠르고 가장 정확한 방법이다.