Ⅱ. 방정식과 부등식. 근과 계수의 관계

 

 

공통수학 상 2단원 방정식과 부등식
①복소수 뜻과 사칙연산
②이차방정식의 판별식과 근과 계수의 관계
③이차방정식과 이차함수의 관계
④이차함수의 최대 최소
⑤여러가지 방정식 부등식

②이차방정식의 판별식과 근과 계수의 관계
우리는 중학교 3학년에 이차방정식의 풀이를 배운다. 완전제곱식으로 바꿔서 근의 공식으로 이차방정식의 근을 구하는 건 잘 하고 있다. 이제 고등학교 과정에서 배우는 건 이차방정식의 풀이가 아니다. 우리가 지금 하는 건 근을 이용해서 이차방정식의 ‘계수’ 를 이해하는 과정이다.

근과 계수의 관계 공식을 살펴 보자. 첫번째 $\alpha+ \beta =-\frac{b}{a} $는 두 근의 합이 계수의 비율과 같다는 것이고 두번째 $\alpha \beta =\frac{c}{a}$는 두 근의 곱이 계수의 비율과 같다는 것이다. 이 공식에는 근의 합과 곱, 그리고 방정식의 계수만 나와 있다. 만약 중학교 3학년때 ‘근의 합을 구하시오’ 라고 하면 우리는 방정식을 풀어서 근의 값을 직접 구하고 덧셈을 했겠지만 우리는 이제 이차방정식의 계수를 이용해 근의 합을 바로 구할 수 있다. 결국 저 공식의 의미는 근을 직접 구하지 말고 계수만 보고 근의 합과 곱을 구하라는 것이다. 

교과서에 있는 근과 계수의 관계 예제이다.

1 ) $ \alpha ^2+\beta ^2$의 값을 구하라. 근을 직접 구해서 풀지 말고 근과 계수의 관계를 이용하자.  $$\alpha+\beta=3, \alpha \beta =5 $$ 다항식 곱셈공식에 의해 $$\alpha ^2+\beta ^2=(\alpha +\beta )^2-2\alpha \beta =3^2-2\cdot 5=-1 $$2) $$\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=\frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }=\frac{3}{5}$$ 

특정한 식의 값은 근을 구하지 않고도 계수를 이용해서 구할 수 있다. 지금까지 우리는 이차방정식의 근을 구하기만 했지만 이제부터는 이차방정식의 계수를 보면 합과 곱을 기본적으로 머릿속에 떠올리고 있어야 한다.

“아니 알겠는데요, 어쨌든 힘들어도 근을 직접 구해서 합과 곱을 구할 수는 있잖아요? 이게 따로 배워야 할 정도로 그렇게 중요해요?
맞다. 어차피 이차방정식이 나와 있기 때문에 이 개념을 몰라도 근을 구해서 연산을 하면 된다. 그런데  반대로, 어떤 이차방정식의 근은 아는데 이차방정식의 계수는  모른다면? 만약 1과 4를 근으로 하는 이차방정식을 세워야 한다면? $1=\frac{-b\pm \sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}, 4=\frac{-b\pm \sqrt{(b^2-4ac)}}{2a} $으로 두고 a,b,c를 구할 건가? 바로 쉽게 구할 수 있는 방법이 없나? 그래서 이때 근의 합과 곱을 이용해서 계수를 구하면 이차방정식을 쉽게 세울 수 있다. 

계수는 근의 합과 곱을 의미하기 때문에 반대로, 근의 합과 곱으로 이차방정식의 계수를 구하겠다는 것이다. 1과 4를 근으로 갖는 이차방정식은 근과 계수의 관계에 의해 $x^2-(1+4)x+1\cdot 4=x^2-5x+4=0 $으로 쉽게 세울 수 있다. 근과 계수의 관계는 바로 이 부분에 핵심이 있고 따라서 근과 계수의 관계에 대한 문제는 대부분이 근의 합과 곱으로 이차방정식을 구하도록 출제가 된다.

2016 6월 학평 (고1)

$\overline{AE}, \overline{AH}$ 의 길이를 두 근으로 하는 이차방정식을 구하라는 문제이다. 이차방정식을 세우기 위해서 필요한 건 근의 합과 곱이다. 따라서 $\overline{AE}$와 $\overline{AH}$의 길이를 구하려고 하지 말고, $\overline{AE}$ 와 $\overline{AH}$의 길이의 합과 곱을 구해보자. 

주어진 조건을 이용하기 위해 $\overline{PF}=a, \overline{PG}=b$ 라고 하자.

①둘레길이=28 이므로 $a+b=14$
②사각형 넓이 $ab=46$

 

$\overline{AE}=10-a, \overline{AH}=10-b$ 이므로
①$\overline{AE}+\overline{AH}=(10-a)+(10-b)=20-(a+b)=20-14=6$
②$\overline{AE}\cdot \overline{AH}=(10-a)(10-b)=100-10(a+b)+ab=100-10\cdot 14+46=6 $
따라서, $\overline{AE},\overline{AH}$의 길이를 두 근으로 하는 이차방정식은 $x^2-6x+6=0$

 

이처럼 이차방정식을 구하는 문제가 나오면 우리는 근의 값을 구하기 보다 근의 합과 곱이 어떻게 될지에 포인트를 두어야 한다. 근과 계수의 관계는 합과 곱으로 계수를 구할 수 있다는 의미를 담기 때문에 많은 문제들이 근을 직접 구하기 힘들게 조건을 주고 오로지 합과 곱만을 이용해서 이차방정식을 구하도록 출제된다. 그런데 사실 이차방정식에서 근과 계수를 물어보는 문제는 많지 않다. 근과 계수의 관계 개념은 이차함수로 확장되는데 보통 모의고사에서는 이차함수와 이차방정식의 근과 계수를 연계해서 많이 출제한다. 이 부분은 이차함수 단원에서 이어서 다뤄보자.