Ⅵ. 경우의 수. 조합

공통수학 하 6단원. 경우의 수.
①합과 곱의 법칙
②순열
③조합

 

[수학/고1] - Ⅵ. 경우의 수. 순열

③조합
순열에 이어서 조합을 배운다. 이전 포스팅에서 곱의 법칙에 대해 충분히 이야기 한 것 같으니, 조합에서는 조금 다른 이야기를 해보자. 조합은 순열과 다르게 순서에 상관없이 택하는 것을 뜻한다. 학생들이 순열보다 조합을 더 어려워 하는데, 순열은 순서가 있기 때문에 차례대로 곱셈하면서 비교적 쉽게 처리할 수 있다. 그런데 조합은 순서가 없기 때문에, (a,b)와 (b,a) 를 같은 경우로 보기 때문에 곱셈으로 막 처리하다 자칫해서 같은 경우를 여러 번 세게 되는 경우가 많다. 그래서 조합 체계, 즉 선택하는 체계를 잘 세워놓아야 한다.

 

조합 예제를 잠깐 보고 넘어가자. 만약 케이크 a,b를 택했을 때, 음료 3잔을 택하는 경우의 수는 $_5C_3$ 이다. 어떤 케이크 2개를 택하든 각각의 경우에 대해 음료 3잔을 택하는 경우의 수는 $_5C_3$ 이고 케이크를 2개 택하는 경우의 수는 $_7C_2$ 이므로 $$_7C_2\times _5C_3$$ 곱의 법칙으로 간단하게 풀 수 있는 예제이다. 바로 다음 문제를 한번 풀어보자.

신사고 교과서 중단원 마무리문제

한 켤레는 짝이 맞아야 하고 그러면 나머지 두 구두는 짝이 맞지 않아야 한다. 그러면 먼저 짝이 맞는 한 켤레를 택하자. 6켤레 중 한 켤레를 택하는 경우의 수는 $_6C_1$ 이다. 그리고 남은 구두 10짝 중에서 안 맞는 2짝을 뽑아야 한다. 그래서 10개 중 먼저 하나를 뽑는 경우의 수는 $_{10}\mathrm{C}_{1}$ 이고 그 구두와 맞는 짝을 제외한 8개 구두에서 하나를 뽑으면 된다. 어떤 구두를 하나 뽑든 나머지 구두 한 짝을 택하는 경우의 수는 $_{8}\mathrm{C}_{1}$ 으로 동일하므로 곱의 법칙에 의해 경우의 수는 $_{10}\mathrm{C}_{1} ×_{8}\mathrm{C}_{1}$이다. 따라서 답은 $$_6C_1× _{10}\mathrm{C}_{1} ×_{8}\mathrm{C}_{1}=480$$ 이다.

그런데 답을 맞춰보니 또 틀렸다. 잘 푼 것 같은데 왜 틀렸을까?

조합은 순열과 다르다. 학생들이 많이 실수하는 유형 중 하나가 선택하지 않고 나열하는 것이다. 어떤 걸 선택하는 조합 문제에서는 순서에 상관없이 ‘택’해야 하는데 자기도 모르게 순열로 풀어버린다. 위 풀이에서 짝이 안 맞는 구두를 택하는 부분 $_{6}\mathrm{C}_{1}$이후 를 다시 보자. 하나씩 뽑는다고 하면서 적은 $_{10}\mathrm{C}_{1} ×_{8}\mathrm{C}_{1}$ 은 사실 순열의 수이다. 왜? 뽑는 '순서'를 두었기 때문이다. 두 구두를 한번에 뽑아야 하는데 하나씩 뽑았다. 이렇게 되면 구두 10짝 중 처음에 구두a를 뽑고 두번째로 구두b를 뽑는 경우와 처음에 b를 뽑고 두번째로 a를 뽑은 경우가 따로따로 세어진다. 그런데 택하는 문제이기 때문에 두 경우는 사실 하나의 경우이다. 따라서 이 풀이 방식대로 하면 저 식에서 2로 나누어야 올바른 답을 얻을 수 있다.$$_{6}\mathrm{C}_{1}\times \frac{_{10}\mathrm{C}_{1}\times _{8}\mathrm{C}_{1}}{2}=240$$
“음 선생님 근데 저렇게 풀어도 뭔가 찝찝한데요 헷갈려서. 나누는 거 없이 깔끔하게 뽑아서 문제를 풀고 싶은데 어떻게 해야 돼요?”

 1등급 명품이의 풀이를 한번 보자.

서로 다른 6켤레를 A,B,C,D,E,F 라고 하자. 만약 4짝 중 한 켤레는 짝이 맞고 나머지 두 짝은 짝이 안 맞으면 구두의 종류는 3가지가 된다. 예를 들어 짝이 맞는 한 켤레를 A라고 하면 나머지 구두 두 짝은 B 구두 하나와 C구두 하나 이런 식으로 종류가 3가지가 된다. 그래서 일단 짝이 맞는 한 켤레를 택하는 경우의 수는 $_{6}\mathrm{C}_{1}$ 이고 맞지 않는 구두 2짝의 종류를 택하는 경우의 수는 5개 중에서 2개를 택하면 되니까 $_{5}\mathrm{C}_{2}$ 이다. 이때 만약 B와 C를 택했으면 B구두에서 2개 중 하나를 택하고 C구두에서 2개 중 하나를 택하면 되므로 $_{2}\mathrm{C}_{1} ×_{2}\mathrm{C}_{1}$이다. 따라서 전체 경우의 수는 $$ _{6}\mathrm{C}_{1} ×_{5}\mathrm{C}_{2} ×_{2}\mathrm{C}_{1} ×_{2}\mathrm{C}_{1} =240$$

헷갈리지 않게 명품이처럼 풀면 된다. 전의 풀이와 명품이의 풀이가 뭐가 다른가? 뽑는 순서가 없어졌다. 전의 풀이에서는 10개 구두에서 2개의 구두를 하나씩 뽑아서 문제가 생겼지만 명품이는 각 ‘그룹’에서 하나씩 '동시에' 선택하면서 뽑는 순서가 없어졌다. 순서 없이 조건이 다른 대상들을 한번에 뽑는 방법은 각 대상을 전체에서 뽑지 말고 각각의 ‘그룹’에서 택하는 관점으로 바라봐야 한다는 말이다. 이게 바로 조합의 수를 세는 체계이다. 순열과 구별되게 풀이를 적고 싶으면 그룹에서 선택하는 문제로 보아야 한다. 잠시 아까 처음에 푼 예제로 다시 돌아가보자.

이제 예제의 의미가 다르게 다가온다. 예제가 우리에게 알려주는 것은 여러가지 대상을 택하는 문제들은 케이크와 음료 같은 다른 그룹에서 택하는 문제로 관점을 바꾸어서 볼 수 있다는 것이다. 구두 4짝을 택하는 문제를 전체 12개 구두에서 택하지 말고 각각의 켤레에서 하나씩 동시에 택하는 문제로 보아야 한다. 예제에서는 그룹이 명확하게 정해져 있다. 구두 문제가 어려운 이유는 여러 개 그룹에서 상황에 맞는 그룹을 먼저 택해야 하기 때문이다. 이렇게 조합 문제는 그룹을 먼저 택하도록 만든다.

 

2019 3월 학평(가) 고2

 

마찬가지로 숫자를 택하는 문제이지만, 9개 숫자 중에서 2개를 택하려고 하지 말고 그룹을 먼저 보려고 하자. 여기서는 가로줄, 세로줄이 각각 3개씩 있다. 가로줄과 세로줄을 먼저 택하고 그 가로줄과 세로줄에 있는 숫자들 중 조건에 맞는 숫자들을 택하면 된다. 택하는 두 숫자는 다른 가로줄에 있어야 하므로 먼저 가로줄 3개 중 2개를 택하자. 그러면 경우의 수는 $_{3}\mathrm{C}_{2}$ 이고 마찬가지로 다른 세로줄에 있어야 하므로 세로줄 3개 중 2개를 택하는 경우의 수는 $_{3}\mathrm{C}_{2}$이다. 그랬을 때, 4개의 숫자가 나오는데 1,2,4,5 라면 여기서 조건에 만족하는 숫자 쌍은 (1,5)와 (2,4)로 두 가지이다. 이 두 가지 중 하나를 선택하는 경우의 수는 $_{2}\mathrm{C}_{1}$ 이므로 답은 $$_{3}\mathrm{C}_{2} ×_{3}\mathrm{C}_{2} ×_{2}\mathrm{C}_{1} =18 $$
이다.

경우의 수 문제들의 특징은 미적분처럼 답을 내기 어려운 게 아니라 답은 내는데 틀린 답을 내는 경우가 많다는 것이다. 경우의 수를 중복해서 세거나 빠뜨리거나 하는 경우가 많다. 그래서 경우의 수 문제는 일관되게 푸는 것이 중요하다. 다양한 문제를 많이 풀어보면서 어떻게 세야 하는 가를 고민해야 하고 어떤 관점으로 바라볼 때 더 세기 쉬운가를 공부해야 한다. 그리고 문제들을 바탕으로 가장 효율적인 체계를 세워서 항상 똑같이 가짓수를 세는 연습을 하는 것이 중요하다.