Ⅱ. 방정식과 부등식. 이차방정식과 이차함수의 관계(1)

공통수학 상 2단원 방정식과 부등식
①복소수 뜻과 사칙연산
②이차방정식의 판별식과 근과 계수의 관계
③이차방정식과 이차함수의 관계
④이차함수의 최대 최소
⑤여러가지 방정식 부등식

③이차방정식과 이차함수의 관계
중학교 3학년 1학기에 이차함수의 그래프를 그리는 연습을 했었다. 모든 이차함수의 그래프 형태가 포물선이기 때문에 위로 볼록인지 아래로 볼록인지를 먼저 보고 꼭짓점의 좌표를 알면 대략적으로 그래프를 그릴 수 있다. 지금 이 단원에서는 그래프를 배우는게 아니고 이차함수와 이차방정식과의 관계를 배운다. 앞서 배운 이차방정식의 판별식과 근과 계수 관계를 이차함수에 이용한다. 이번 포스팅에서는 판별식에 대해서 먼저 이야기 해보자.

이차함수와 x축과의 교점의 x좌표는 이차방정식의 근이다. 따라서 이차방정식의 근의 개수는 반대로 이차함수와 x축과의 교점 개수를 의미하기 때문에 이차방정식의 근을 판별할 때 사용하던 판별식을 이차함수에 적용해 x축과의 관계를 파악할 수 있다. 판별식은 이차함수가 x축과 어떻게 만나는지를 나타낸다.

비상교과서 예제

교과서에 나오는 판별식 예제이다. 이차함수가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나려면 이차방정식의 판별식이 $D=9+4k>0$ 이어야 하므로 $k>-\frac{9}{4}$ 이다.
판별식을 이용하면 간단히 답이 나온다. 그런데 중학교3학년 학생이 갑자기 불쑥 끼어든다. “선생님, 저도 풀었어요! 이거는 판별식 몰라도 풀 수 있는데요?“ 어떻게 풀었나 한번 봤더니, 그래프를 그리는 것에 익숙한 중3 학생은 그래프 꼭짓점의 위치를 이용했다.
$$-x^2+3x+k=-(x-\frac{3}{2})^2+k+\frac{9}{4}$$ 이므로 이차함수가 위로 볼록이고 꼭짓점의 좌표는 $(\frac{3}{2} ,k+\frac{9}{4})$ 이다. 그래프를 대충 그리면

이 이차함수가 x축과 두 점에서 만나려면 꼭짓점의 좌표가 x축 위에 있어야 하므로 $k+\frac{9}{4}>0$ 이다. 따라서 $k>-\frac{9}{4}$ 이다.
위처럼 x축과의 관계는 그래프로도 쉽게 파악하고 따질 수 있다. 그러면 왜 꼭 판별식을 써야 하나? 그냥 그래프 개형을 이용해서 문제를 해결하면 안되나? 사실 판별식은 이차함수와 x축을 따질 때에는 그 힘을 체감할 수 없다. 판별식의 진짜 힘은 바로 이차함수와 직선의 위치관계에서 나온다. 판별식 그 자체는 이차함수와 x축과의 관계를 뜻하지만 보다 중요한 것은 이 개념을 확장해서 이차함수와 일반적인 직선과의 위치관계에 일관되게 활용할 수 있다는 것이다. 다음 예제를 보자.

 

비상 교과서 예제

x축이 아닌 직선과의 위치에 대해 묻고 있는 이 예제는 중학교3학년 과정에서는 풀기 힘들다. 단순한 그래프 개형과 성질만으로는 직선과 만날 조건을 이끌어 낼 수 없다. 그래프를 그려서 직선이 이차함수에 접할 때 보다 위에 있어야 한다는 것은 알 수 있어도 k값 범위는 구하기 힘들다. 그래서 우리는 여기에 이차방정식의 판별식을 이용한다. $$x^2+3x-2=x+k$$ $$x^2+3x-2-(x+k)=x^2+2x-(2+k)=0$$ 위 방정식의 근은 이차함수와 직선의 교점의 x좌표를 의미하므로 이차함수와 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 때 방정식의 판별식이 0보다 크다. 따라서
$$D=2^2+4\cdot 1\cdot (2+k)=12+4k>0$$ 이므로 $k>-3$이다.
결국 판별식이 가지는 의미는 단순히 그래프 개형이나 성질로는 정확히 다룰 수 없는 직선과의 위치관계를 ‘식’을 이용해서 ‘대수적’으로 해결할 수 있다는 데에 있다. 이 단원에서는 판별식을 이차함수와 직선과의 관계에 활용하는 것에 포인트가 있고 출제되는 대부분의 문제들이 이차함수와 직선을 같이 낸다. 

 

신사고 교과서 중단원 마무리 문제

이차함수가 직선보다 항상 위쪽에 있으면 이차함수와 직선은 만나지 않는다. $$x^2-x+2a=-4x+a$$ $$x^2-x+2a-(-4x+a)=x^2+3x+a=0$$ 위 방정식의 근이 없어야 하므로 $ D=3^2-4a<0 $ 이다. 따라서 $a>\frac{9}{4}$이고 정수 a의 최솟값은 3이다.

 

문제에서 만약 어떤 직선과 만난다, 만나지 않는다는 표현을 쓰면 학생들은 당연히 판별식을 생각한다. 그런데 그런 표현이 없더라도 문제에서 직선과의 위치에 대해서 물어보면, 혹은 문제에서 직접적으로 요구하지 않더라도 풀이 과정에서 위치를 따질 필요가 생기면 대수적인 방법으로 판별식을 쓸 수 있다는 것이다. 이 문제도 마찬가지이다. 만난다, 만나지 않는다는 워딩은 없지만 이차함수와 직선의 '위치'에 대해 묻고 있으므로 판별식을 떠올릴 수 있어야 한다. 말했듯이 판별식은 직선과의 위치를 대수적으로 다룰 수 있는 하나의 도구이다. 

이차함수 판별식 문제는 모의고사에서 3점짜리 문제로 많이 나온다. 난이도가 상대적으로 낮기 때문에 사실 학생들이 깊게까지는 생각하지 않는다. 하지만 개념적으로 판별식은 다양한 대상들의 위치관계를 판별하는 매우 유용한 도구로 발전하기 때문에 이차함수에서 절대 빠질 수 없는 개념이다. 이 부분은 나중에 더 설명하기로 하고, 이 단원에서 중요한 것은 판별식이라는 대수적인 도구를 이용하면서 이차함수를 이해하는 폭이 넓어졌다는 것이다. 그래프의 개형과 성질을 주로 공부하던 중학교 3학년 과정에서, 방정식을 이용해 이차함수 그래프와 다른 대상과의 관계까지 다룰 수 있는 영역으로 확장되었다. 그래서 이제부터는 이차함수를 다룰 때 그래프 개형과 성질을 이용할 뿐만 아니라 언제든지 이차방정식으로 끌고 가서 이차함수를 해석할 줄 알아야 한다.