[수1] Ⅱ. 삼각함수. 삼각함수의 그래프와 성질(1)

수1 2단원. 삼각함수.
①일반각과 호도법
②삼각함수 뜻
③삼각함수의 그래프와 성질
④사인법칙과 코사인법칙

③삼각함수의 그래프와 성질
지금부터 두 포스팅에 걸쳐 이야기할 내용은 삼각함수에서 가장 중요한 부분이다. 개념의 흐름이 집약되는 중요한 내용이고 그래서 평가원 모의고사에서 4점 문제로 1문제씩은 꼭 출제된다. 개념의 양이 많고 공식도 많아서 처음에는 학생들이 어려워하는데 포인트만 잘 짚고 공부 하면 문제는 그리 어렵지 않게 풀린다. 그래프에 대해 먼저 이야기해보자. 

앞서 우리는 삼각함수를 동경이 나타내는 일반각에 대한 함수로 정의했다. x축의 양의 방향과 동경OP가 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라고 했을 때, 우리는 삼각함수를 원 위를 움직이는 점P의 좌표 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ 로 정의했다. 그런데 점P는 원 위에 고정된 점이 아니라 원 위를 계속 도는 점이다. 그래서 원 위의 한 점에서 시작해서 한바퀴를 돌고 나면 제자리로 오게 된다. 여기서 삼각함수의 중요한 규칙성이 생기고 이를 주기 라고 부른다. 삼각함수의 정의에서 나오는 그래프의 가장 차별화된 특징이 바로 이 주기성이다.

사인과 코사인 함수 그래프를 그려보면 위와 같이 파동 형태가 계속 반복된다. $\sin \theta ,\cos \theta$ 는 각각 점 P의 y좌표, x좌표를 의미하기 때문에 점 P가 한바퀴를 돌 때마다 주기적으로 같은 값으로 돌아오게 된다. 그래서 사인과 코사인 함수 그래프에도 주기가 나타난다. 그렇다면 굳이 다 그리지 않고도 반복되는 한 파동의 형태와 얼마나 반복되는지를 알면 전체 그래프를 이해할 수 있다. 위 경우 한 파동의 형태는 초록색 부분에 해당하는 범위가 $-1\le y\le 1$인 곡선이고 주기는 $2\pi$ 이다. 따라서 초록색 부분 곡선이 $2\pi$ 마다 반복되는 형태라고 삼각함수 그래프 전체를 이해할 수 있다. 이렇게 파동의 형태와 주기로 삼각함수 그래프를 파악하는 것이 이 단원의 첫번째 포인트이다.

삼각함수의 곡선개형은 다 비슷하다. 그런데 $(1)$처럼 파동의 폭은 달라질 수가 있다. 또는 $(2)$처럼 폭은 같아도 주기가 달라질 수 있다. 그래서 이 예제처럼 많은 삼각함수 문제들이  폭과 주기, 이 두 가지를 물어보고 여기에 집중해서 문제를 풀면 된다. 그런데!  이 정도에서 끝나는 문제였다면 굳이 얘기할 게 없었을 것이다. 여기서 삼각함수를 평행이동 하기 시작하면서 문제가 복잡해진다. 

예제를 잠깐 보자. 삼각함수의 폭과 주기를 먼저 파악하자. $(1)$ $y=\sin (x-\pi )$는 $y=\sin x$ 를 x축으로 평행이동 한 것이므로 폭과 주기는 같다. 그런데 그래프의 형태는 다음과 같이 거꾸로 뒤바뀐다.

$(2)$ $y=\cos 2x-1$은 $y=\cos 2x$ 를 y축으로 평행이동 한 것인데 마찬가지로 폭과 주기도 같고 파동의 형태도 같지만 y축으로 -1만큼 내렸기 때문에 함수값의 최댓값과 최솟값은 달라진다.

이처럼 삼각함수를 평행이동 했을 때는 우리가 신경써야 할 것이 늘어난다. x축으로 평행이동한 경우에는 그래프의 형태가 바뀔수 있고, y축으로 평행이동한 경우에는 형태는 똑같지만 최댓값과 최솟값이 바뀐다. 그래서 평행이동한 삼각함수의 경우 이 포인트들을 문제에 낼 수 밖에 없다. 특히, y축으로 평행이동한 삼각함수가 나오는 문제는 예제처럼 최댓값이나 최솟값을 묻게 된다. 

2024 6월 평가원

y축으로 평행이동 시킨 삼각함수 $f(x)$에 대해 묻고 있다. $f(x)$의 위아래 폭은 $2a$이고 주기는 $\frac{2\pi }{b}$ 이다. 조건에 맞게 $f(x)\ge 0$이면서 방정식의 실근이 있기 위해서는 일단 밑과 같이 그래프가 그려져야 한다.

즉, 함수 $f(x)$의 최솟값이 0이라는 뜻이다.$\sin bx=-1$일 때 함수 $f(x)$가 최소이므로 $$-a+8-a=8-2a=0$$따라서 $a=4$이다.
$0\le x<2\pi$에서 실근이 4개라고 하니까 작은 것부터 실근을 구해보자. $\sin bx=-1$일 때 $x=\frac{3\pi }{2b}$이므로 나머지 근들은 여기에 한 주기씩 더하면 된다. 그러면 $$x=\frac{3\pi }{2b},\frac{7\pi }{2b},\frac{11\pi }{2b},\frac{15\pi }{2b},\frac{19\pi }{2b},\cdots$$ 실근이 4개여야 하므로 5번째 근 $\frac{19\pi }{2b}$는 범위에 포함되면 안된다. 그래서 결국 $$\frac{15\pi }{2b}<2\pi \le \frac{19\pi }{2b}$$따라서 자연수 $b=4$이고 $a+b=8$이다.

이 문제에서 물어보는 건 삼각함수의 주기와 삼각함수를 평행이동했을 때 최솟값을 볼 줄 아느냐 이다. 다른 평가원 문제들을 보면 알겠지만 소재만 다를 뿐 결국 물어보는 것은 다 똑같다. 결국, 우리가 삼각함수 그래프에서 기억해야 할 포인트들은 이렇게 압축된다. 삼각함수의 주기, 파동형태, 그리고 최댓값과 최솟값. 그래프에 대한 내용은 여기에 먼저 포커스를 맞추고 공부가 되어야 한다. 그리고 어느정도 사인 코사인 그래프가 익숙해지면 다음 단계, 삼각함수의 성질로 넘어간다.