[수1] Ⅱ. 삼각함수. 삼각함수의 그래프와 성질(2)

 

 

수1 2단원. 삼각함수.
①일반각과 호도법
②삼각함수 뜻
③삼각함수의 그래프와 성질
④사인법칙과 코사인법칙

③삼각함수의 그래프와 성질
이전 글에서 삼각함수의 그래프를 평행이동할 때 나타나는 변화를 2가지 이야기하면서 특히 y축으로 평행이동 했을 때 최댓값과 최솟값이 달라지는 것에 집중했다. x축으로 평행이동했을 때는 형태가 바뀔 수 있다는 것만 이야기하고 넘어갔는데 이에 대해 더 자세하게 이야기해보자. y축으로는 얼만큼 평행이동을 하든 그래프의 형태는 전혀 바뀌지 않고 최댓값과 최솟값만 달라진다. 그런데 x축으로 평행이동을 다양하게 해보면 그래프 형태가 바뀌는데 여기서 삼각함수의 성질을 발견할 수 있다.
먼저 함수 $y=sin⁡{x}$ 를 $-π$ 만큼 평행이동해보자. $ y=sin⁡{(x+\pi )}$ 의 그래프는 다음과 같이 그려진다.

$ y=sin⁡{x}$ 의 그래프를 위 아래 뒤집은 것$($y축으로 대칭이동$)$과 같은 그래프가 되므로 여기서 $sin⁡{(x+\pi )}=-sin{x}$ 가 성립한다는 것을 알 수 있다. 마찬가지로 $y=cos⁡{x} $도 x축으로 $-π $만큼 평행이동하면 다음과 같이 그려지고 이 그래프는 $ y=cos⁡{x} $를 위 아래로 뒤집은 것과 같은 그래프여서 결국 $cos⁡{(x+π)}=-cos⁡{x} $도 성립한다.

이번에는 함수 $y=sin⁡{x} $를 x축으로 $-π/2 $만큼 평행이동 시켜보자. 그러면 다음과 같이 그래프가 가장 높은 지점에서 시작되는데 이는 $y=cos⁡{x} $와 똑같은 함수 그래프이다.

그래서 여기서 $ y=sin⁡{(x+\frac{\pi}{2})}=cos⁡{x} $도 성립하고 마찬가지로 $y=cos⁡{x} $도 평행이동 해보면 $ cos⁡{(x+\frac{\pi}{2})}=-sin⁡{x} $가 성립한다. 이러한 삼각함수의 성질들은 다음과 같이 정리되고 이 공식들을 외워서 사용하게 된다.

근데 외워야 한다고 해서 외우는데, 도대체 이 공식들을 정확히 어디에 사용할 수 있는가? 여기가 바로 중요한 출제포인트이다. 삼각함수를 정의하기 위해 우리가 가장 먼저 한 것은 일반각을 배우면서 각의 범위를 확장시킨 것이었다. 우리가 지금 다루는 각의 범위는 예각까지가 아니고 $0$ $($rad$)$부터 $2π$ $($rad$)$까지 이다$($한 주기만 따졌을 때$)$. 중학교 과정에서는 $ sin⁡{x}=\frac{1}{2} $인 $x=30^{\circ} $로 하나였는데 이제는 $sin⁡{x}=\frac{1}{2} $를 만족하는 $x$가 $ x=\frac{\pi }{6} $예각 이외에 둔각인 경우가 있게 된다. 그러면 이 각의 크기를 어떻게 구할 수 있나? $ sin{⁡x} =sin{(\pi -x)} $이므로 $ sin{\frac{\pi }{6}} =sin{(\pi -\frac{\pi }{6})}=sin{\frac{5\pi }{6}} = \frac{1}{2}$이다.따라서 해는 $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$이다. 결국 삼각함수의 성질은 확장한 각에 대한 삼각함수 값을 우리가 잘 알고 있는 $0$부터 $\frac{\pi }{2}$까지의 삼각함수 값과 대응시킬 수 있게 해준다. 그래서 굳이 삼각함수 표를 다시 만들 필요도 없고 단지 우리가 알고 싶은 각도가 $0$부터 $\frac{\pi }{2}$  사이의 어떤 각도와 같은 삼각함수 값을 갖는지만 확인하면 된다. 그리고 교과과정에서는 이러한 과정을 단순히 연산으로만 해결하지 말고 그래프와 같이 활용해서 해결하도록 요구하고 있다.

방정식을 그래프와 그래프의 교점으로 보고 교점의 x좌표를 구해 방정식의 해를 구할 수 있다. 먼저 예각인 해를 구하고 삼각함수 성질을 이용해 나머지 해를 구하면 된다. 그러면 방정식 $ sin⁡{x}=\frac{1}{2} $을 만족하는 예각인 해는 $x=\frac{\pi }{6} $이다. 그리고 그래프에서 삼각함수의 성질을 이용하면 저 두번째 교점의 x좌표는 $ \pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6} $로 구할 수 있다. 따라서 위 방정식의 해는 $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$ 이다.

삼각부등식도 똑같이 교점의 x좌표를 찾아서 해결할 수 있다. $cos{x}=\frac{\sqrt{2}}{2} $를 만족하는 예각인 해는 $x=\frac{\pi }{4}$ 이다. 그리고 2번째 해를 찾아야 하는데 삼각함수의 성질을 이용해야 한다. $ cos{(\pi -x)}=-cos{x} $에서 $ x$에 $\pi -x$를 대입하면 $cos{(2\pi -x)}=-cos{(\pi -x)}=cos{x} $를 만족한다. 따라서 두번째 교점의 x좌표는 $2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4} $이다. 따라서 부등식의 해는 $\frac{\pi }{4}< x< \frac{7\pi }{4}$이다.

위처럼 삼각함수 성질을 그래프에 적용하면서 값을 찾는 것을 요구한다. 평가원이 내는 삼각함수 성질은 3점짜리 단순 계산 문제로 나오는 경우도 많지만, 4점으로 출제될 때에는 방정식이나 부등식의 형태로 그래프와 성질을 같이 물을 때가 많다.

2023 9월 평가원

먼저 함수 $f(x)$의 주기를 체크하자. $\frac{2\pi }{\frac{\pi }{6}}=12 $이므로 주기는 $12$이다. 그러면 닫힌 구간 $[0,12]$ 은 한 주기에 해당한다. 그리고 직선과 만나는 점을 이야기하고 있으니 그래프를 그리자.

함수 $f(x)$와 직선 $y=k$ 가 만나는 점 A,B의 x좌표가 각각 $\alpha _{1},\alpha _{2} $이다. $k$값을 모르니까 $\alpha _{1},\alpha _{2}$ 의 값도 알지 못한다. 그러나 두 값의 관계는 삼각함수 성질을 이용하면 알 수 있다. $cos{(2\pi -x)}=cos{x} $를 만족하므로 함수 $f(12-x)=f(x)$ 를 만족한다. 따라서 $$\alpha _{2}=12-\alpha _{1} $$이다. $\alpha _{2}-\alpha _{1}=8 $ 이므로 연립해서 구하면 $$\alpha _{1}=2 ,\alpha _{2}=10 $$이고 $$k=f(2)=cos⁡{\frac{\pi }{3}}=\frac{1}{2} $$이다.
이제 함수 $g(x)$ 와 $y=k $가 만나는 점을 봐야 하는데 함수 $g(x) $를 그려도 되지만 그것보다 $$g(x)=3 cos⁡{(\frac{\pi x }{6})}-1=\frac{1 }{2} $$ $$cos⁡{(\frac{\pi x }{6})}=-\frac{1 }{2} $$을 만족하는 $x$값이 각각 $ \beta _{1},\beta _{2} $이다. 그러면 그냥 함수 $f(x)=cos⁡{\frac{\pi x}{6}}$ 와 직선 $y=-\frac{1}{2}$ 의 교점을 구하면 된다.

삼각함수 성질 $cos{(\pi -x)}=-cos{x}, cos{(\pi +x)}=-cos{x}$ 에 의해 $$\beta _{1}=6-\alpha _{1}=4 $$ $$\beta _{2}=6+\alpha _{1}=8 $$이고 따라서 답은 $$\alpha _{2}-\alpha _{1}=4 $$이다.

여기까지 해서 삼각함수에서 중요한 내용은 끝이 난다. 일반각부터 시작해서 호도법, 삼각함수 뜻, 그래프, 성질까지 모든 개념들이 똑같이 다 중요하지만 평가원 문제에서는 그래프와 성질에 더 힘이 실린다. 최근 몇 년간은 평가원이 3점이나 가벼운 4점 문제로 출제를 하는 트렌드이다 보니 킬러문항을 위한 시간을 많이 확보해야 하는 상위권 학생들에게는 삼각함수 문제를 얼마나 빨리 푸느냐가 관건이 된다. 그런데 삼각함수 문제는 평소 체화가 잘 되어 있지 않으면 은근히 헷갈리면서 자칫 시간을 잡아먹게 되는 문제이기도 하다. 또 최근 경향과는 별개로 삼각함수는 마음만 먹으면 얼마든지 어렵게 출제될 수 있는 부분이기 때문에 너무 가볍게 보지 말고 제대로 대비를 하는게 필요하다.